最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题，是探讨在重力作用而忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点A以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于A的B，该以何种曲线行进才能令所需的时间最短。在部分欧洲语言中，这个问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）。这条线段就是摆线，可以用变分学证明。

1638年，伽利略在《论两种新科学》中以为此线是圆弧。约翰·伯努利参考之前分析过的等时降落轨迹，证明了此线是摆线，并在1696年6月的《博学通报》发表。艾萨克·牛顿、雅各布·伯努利、莱布尼兹和洛必达都得出同一结论，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必达的解外，其他人的解都在1697年5月的《博学通报》出现。

费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。

运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

式中y表示物体在竖直方向上下落的距离,g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线下落，物体的速度与水平方向的位移无关。 通过假设光在光速v在满足: v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} 的介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。 约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

式中vm为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。

通过上述方程，我们可以得到两条结论：

为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离D后达到了最大速度，则

整理折射定律式中的各项并平方得到

可以解得dx对dy有

代入v和vm的表达式得到

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。 如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

dy不变求微分，得到

最后整理得到

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径，改变量为

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

因此最短时间的情况为

在垂直平面上，自原点 ( 0 , 0 ) {\displaystyle \left(\,0,\,0\right)} 至目的地 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \left(\,x_{1},\,y_{1}\right)} 的最速降线具有以下数学形式：

这里的 y {\displaystyle y} 座标轴方向向下，且 y 1 ≥ 0 {\displaystyle y_{1}\geq 0} ； θ {\displaystyle \theta } 为此摆线参数表达式的参数，原点处 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 。

物体自原点沿最速降线滑至 θ = θ 1 {\displaystyle \theta =\theta _{1}} 处所需的时间可由以下积分式给出：

利用 d s = d x 2 + d y 2 {\displaystyle ds={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}} 以及 v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} ，并以 θ {\displaystyle \theta } 作为参数，整理后得

自此摆线的参数式中易知 y {\displaystyle y} 的最大值为 k 2 {\displaystyle k^{2}} ，此值必须等于摆线的绕转圆直径 2 r {\displaystyle 2r} ，因此

现假设终点与原点直线距离   l   {\displaystyle \ l\ } ，且终点对原点的俯角为 ϕ {\displaystyle \phi } 。利用此摆线的参数式，可知

利用 l {\displaystyle l} 的关系式求出 r {\displaystyle r} ，并代回下滑时间中，得

综合上述，讨论在   l   {\displaystyle \ l\ } 已知的情况下，下滑时间 t {\displaystyle t} 与俯角 ϕ {\displaystyle \phi } 的关系为