圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率 e {\displaystyle e} ）的点的集合是圆锥曲线。对于 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} 得到椭圆，对于 e = 1 {\displaystyle e=1} 得到抛物线，对于 e > 1 {\displaystyle e>1} 得到双曲线。

设 F {\displaystyle F} 为定点， l {\displaystyle l} 为定直线， e {\displaystyle e} 为正常数，称满足 | P F | | P l | = e {\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e} 的动点 P {\displaystyle P} 的轨迹为圆锥曲线。

其中 F {\displaystyle F} 为其焦点， l {\displaystyle l} 为准线， e {\displaystyle e} 为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为 ρ = e ( d − ρ cos ⁡ θ ) {\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )} 或 ρ = e d 1 ± e cos ⁡ θ {\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}} （正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中 θ {\displaystyle \theta } 为 P F {\displaystyle PF} 与极轴的夹角， d {\displaystyle d} 为定直线 x = d {\displaystyle x=d} ，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为近似椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是 a / e   {\displaystyle a/e\ } ，这里的 a   {\displaystyle a\ } 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是 a e   {\displaystyle ae\ } 。

在圆的情况下， e = 0 {\displaystyle e=0} 且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的 a   {\displaystyle a\ } ， e   {\displaystyle e\ } 越接近于1，半短轴就越小。

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

上述方程可以使用矩阵表示为

亦可以写作

这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标)

下文中记 A 33 = ( A B / 2 B / 2 C ) {\displaystyle A_{33}=\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)} ，记 A Q = ( A B / 2 D / 2 B / 2 C E / 2 D / 2 E / 2 F ) {\displaystyle A_{Q}={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}} 。

借由 A Q {\displaystyle A_{Q}} ，我们可以判定圆锥曲线是否退化。

若圆锥曲线未发生退化，则

若圆锥曲线发生退化，则

在此处的表达中， A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 为多项式系数，而非半长轴 A {\displaystyle A} 和半短轴 B {\displaystyle B} 。

矩阵 A Q {\displaystyle A_{Q}} 、 A 33 {\displaystyle A_{33}} 的行列式，以及 A + C {\displaystyle A+C} （ A 33 {\displaystyle A_{33}} 的迹）在任意的旋转和坐标轴的交换中保持不变。 :60–62页 常数项 F {\displaystyle F} 以及 D 2 + E 2 {\displaystyle D^{2}+E^{2}} 仅在旋转中保持不变。:60–62页

Q {\displaystyle Q} 的离心率可被写作关于 Q {\displaystyle Q} 系数的函数。 若 det A 33 = 0 {\displaystyle \det A_{33}=0} ， Q {\displaystyle Q} 为 抛物线，其离心率为1。其它情况下，假设 Q {\displaystyle Q} 表达一个未退化的椭圆或双曲线，那么

此处若 det A Q {\displaystyle \det A_{Q}} 为负则 η = 1 {\displaystyle \eta =1} ；若 det A Q {\displaystyle \det A_{Q}} 为正则 η = − 1 {\displaystyle \eta =-1} 。

此外，离心率 e {\displaystyle e} 也是下述方程的一个正根:89页

此处 Δ = det A 33 {\displaystyle \Delta =\det A_{33}} 。对于椭圆或抛物线，该方程只有一个正根，即其离心率；对于双曲线，其有两个正根，其中的一个为其离心率。

对于椭圆或双曲线， Q {\displaystyle Q} 可用变换后的变量 x ′ , y ′ {\displaystyle x',y'} 表示为如下所示的标准形式

或等价的

此处， λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} 和 λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} 为 A 33 {\displaystyle A_{33}} 的特征值，也即下述方程的两根：

同时， S = det A Q {\displaystyle S=\det A_{Q}} ， Δ = λ 1 λ 2 = det A 33 {\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det A_{33}} 。

通过坐标变换，各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式：

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为 ℓ {\displaystyle \ell } ，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴 a {\displaystyle a} ，和半短轴 b {\displaystyle b} ，通过公式 a ℓ = b 2   {\displaystyle a\ell =b^{2}\ } 或 ℓ = a ( 1 − e 2 )   {\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ } 。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

或者，

如上，对于 e = 0 {\displaystyle e=0} 得到一个圆，对于 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} 得到椭圆，对于 e = 1 {\displaystyle e=1} 得到抛物线，对于 e > 1 {\displaystyle e>1} 得到双曲线。

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

或表示为矩阵：

矩阵 M = [ A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}} 叫做“圆锥曲线矩阵”。

Δ = d e t ( M ) = | A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 | {\displaystyle \Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}} 叫做圆锥曲线的行列式。如果 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} 则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线 [ x y z ] . [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ] . [ x y z ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0} 退化为两相交直线： { x 2 − y 2 = 0 } = { ( x + y ) ( x − y ) = 0 } = { x + y = 0 } ∪ { x − y = 0 } {\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}} 。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: { x 2 + 2 x y + y 2 = 0 } = { ( x + y ) 2 = 0 } = { x + y = 0 } ∪ { x + y = 0 } = { x + y = 0 } {\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}} 。

δ = | A 1 B 1 B 1 A 2 | {\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}} 被称为圆锥曲线的判别式。如果 δ = 0 {\displaystyle \delta =0} 则圆锥曲线是抛物线，如果 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} 则是双曲线，如果 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 则是椭圆。如果 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 且 A 1 = A 2 {\displaystyle A_{1}=A_{2}} ，圆锥曲线是圆；如果 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} 且 A 1 = − A 2 {\displaystyle A_{1}=-A_{2}} ，它是直角双曲线。可以证明在复射影平面 C P 2 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}} 中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根 > 1 {\displaystyle >1} 的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是 ( 1 , i , 0 ) {\displaystyle (1,i,0)} 和 ( 1 , − i , 0 ) {\displaystyle (1,-i,0)} ，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。