在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一种平行多面体。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：

长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

平行六面体的体积是底面 A {\displaystyle A} 与高 h {\displaystyle h} 的乘积，即

这里的高是底面与对面的垂直距离。

另外一个方法是用向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} ， b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})} ，以及 c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) {\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})} 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 V {\displaystyle V} 等于标量三重积：

证明：

以 b {\displaystyle \mathbf {b} } 和 c {\displaystyle \mathbf {c} } 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 A {\displaystyle A} 为：

其中 θ {\displaystyle \theta } 是 b {\displaystyle \mathbf {b} } 与 c {\displaystyle \mathbf {c} } 之间的角，而高为：

其中 α {\displaystyle \alpha } 是 a {\displaystyle \mathbf {a} } 与 h {\displaystyle h} 之间的角。

从图中我们可以看到， α {\displaystyle \alpha } 的大小限定为 0 ∘ ≤ α < 90 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }} 。而向量 b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 a {\displaystyle \mathbf {a} } 之间的角 β {\displaystyle \beta } 则有可能大于90°（ 0 ∘ ≤ β < 180 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }} ）。也就是说，由于 b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 h {\displaystyle h} 平行， β {\displaystyle \beta } 的值要么等于 α {\displaystyle \alpha } ，要么等于 180 ∘ − α {\displaystyle 180^{\circ }-\alpha } 。因此：

且

我们得出结论：

于是，根据标量积的定义，它等于 a ⋅ ( b × c ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )} 的绝对值，即：

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

若 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 及 c {\displaystyle c} 是三条两两相邻的棱长，且 α {\displaystyle \alpha } 、 β {\displaystyle \beta } 及 γ {\displaystyle \gamma } 是三条棱边的夹角，则平行六面体的体积为：

证明

从上面可知，平行六面体的体积可表示为：

其中：

因此

依行列式及标量积定义展开公式右手边，即可得上述公式。

选取任意一顶点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 以其相邻三个顶点 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 、 ( x 3 , y 3 , z 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})} 及 ( x 4 , y 4 , z 4 ) {\displaystyle (x_{4},y_{4},z_{4})} ，则体积可表示为：

如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面体指棱长、面对角线和体对角线都是整数的平行六面体。在2009年，发现了数十个完美平行六面体的例子，包括棱长271、106及103，劣面对角线长101、 266及255，优面角线长183、 312及323,以及体对角线长374、 300、 278及272的平行六面体。

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 空间中的n维超平行体的n维体积（ m ≥ n {\displaystyle m\geq n} ），可以用格拉姆行列式的方法来计算。