完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，${\displaystyle 1+2+3=6}$，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，${\displaystyle 1+2+4+7+14=28}$，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是盈数。

古希腊数学家欧几里得是通过${\displaystyle 2^{n-<!--\; -\; -->1}\times <!--\; \times \; -->(2^n-<!--\; -\; -->1)}$的表达式发现前四个完全数的。

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：${\displaystyle 2^{n-<!--\; -\; -->1}(2^n-<!--\; -\; -->1)}$，其中${\displaystyle 2^n-<!--\; -\; -->1}$是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的${\displaystyle 6}$和${\displaystyle 28}$对应着${\displaystyle n=2}$和${\displaystyle 3}$的情况。我们只要找到了一个形如${\displaystyle 2^n-<!--\; -\; -->1}$的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是${\displaystyle 12p+1}$或${\displaystyle 36p+9}$的形式，其中${\displaystyle p}$是素数。

首十个完全数是（ A000396）：

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 ${\displaystyle n=11}$ 的时候，可是 ${\displaystyle 2^{11}-<!--\; -\; -->1=23\times <!--\; \times \; -->89}$ 并不是素数。因此 ${\displaystyle n=11}$ 不是完全数。另外两个错误假设是：

事实上，第五个完全数 ${\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-<!--\; -\; -->1)}$ 是 ${\displaystyle 8}$ 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 ${\displaystyle 6}$ 结尾，但是第六个完全数 ${\displaystyle 8589869056}$ 仍是以 ${\displaystyle 6}$ 结尾，应该说完全数只有以 ${\displaystyle 6}$ 和 ${\displaystyle 8}$ 结尾才对。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为 ${\displaystyle 2^{82589932}\times <!--\; \times \; -->(2^{82589933}-<!--\; -\; -->1)}$ 共有 ${\displaystyle 49724095}$ 位数。

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

${\displaystyle 28}$ → ${\displaystyle 2+8=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$${\displaystyle 496}$ → ${\displaystyle 4+9+6=19}$ → ${\displaystyle 1+9=10}$ → ${\displaystyle 1+0=1}$

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从${\displaystyle 2^{p-<!--\; -\; -->1}}$到${\displaystyle 2^{2p-<!--\; -\; -->2}}$：

${\displaystyle 6=2^1+2^2}$${\displaystyle 28=2^2+2^3+2^4}$${\displaystyle 496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8}$${\displaystyle 8128=2^6+2^7+...+2^{12}}$

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

${\displaystyle 6=1+2+3}$${\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}$${\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}$${\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}$

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有${\displaystyle \sqrt{2^{p-<!--\; -\; -->1}}}$)：

${\displaystyle 28=1^3+3^3}$${\displaystyle 496=1^3+3^3+5^3+7^3}$${\displaystyle 8128=1^3+3^3+5^3+...+{15}^3}$${\displaystyle 33550336=1^3+3^3+5^3+...+{127}^3}$

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。）

${\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{6+3+2+1}{6}=2}$${\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=\frac{28+14+7+4+2+1}{28}=2}$

• 它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如${\displaystyle 2^{n-<!--\; -\; -->1}(2^n-<!--\; -\; -->1)}$）

${\displaystyle (6{)}_{10}=(110{)}_2}$${\displaystyle (28{)}_{10}=(11100{)}_2}$${\displaystyle (496{)}_{10}=(111110000{)}_2}$${\displaystyle (8128{)}_{10}=(1111111000000{)}_2}$${\displaystyle (33550336{)}_{10}=(1111111111111000000000000{)}_2}$${\displaystyle (8589869056{)}_{10}=(111111111111111110000000000000000{)}_2}$${\displaystyle (137438691328{)}_{10}=(1111111111111111111000000000000000000{)}_2}$

奇完全数

未解决的数学问题：奇完全数存在吗？

用计算机已经证实：在101500以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一个不少于7位数的素因子）但不包含3，亦不会是立方数。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。

这个定理说明若存在奇完全数，其形式必如${\displaystyle 12m+1}$或${\displaystyle 36q+9}$。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明，1951年van der Pol用非线性偏微分方程得出证明。Judy A. Holdener在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。

证明会使用这四个结果：（下面的n,k,j,m,q均为正整数）

引理的证明（甲）：

使用反证法，设${\displaystyle n}$为完全数，且${\displaystyle n\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->1(\mathrm{mod}6)}$。

${\displaystyle n\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->1(\mathrm{mod}3)}$。因为3的二次剩余只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方数，因此其正约数个数为偶数。

${\displaystyle n}$有正约数${\displaystyle d}$，则可得：

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}3)}$。故。

但${\displaystyle 2n\equiv <!--\; \equiv \; -->2(-<!--\; -\; -->1)\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}3)}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能为${\displaystyle 6k+1}$或${\displaystyle 6k+3}$。

引理的证明（乙）：

使用反证法，设${\displaystyle n}$为完全数，且${\displaystyle n\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->1(\mathrm{mod}4)}$。

${\displaystyle n\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->1(\mathrm{mod}4)}$。因为4的二次剩余只有0,1，故${\displaystyle n}$非平方数，因此其正约数个数为偶数。

${\displaystyle n}$有正约数${\displaystyle d}$，则可得：

因此，${\displaystyle (n/d+d)\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}4)}$。故。

但${\displaystyle 2n\equiv <!--\; \equiv \; -->2(-<!--\; -\; -->1)\equiv <!--\; \equiv \; -->2(\mathrm{mod}4)}$，矛盾。

故${\displaystyle n}$的形式只可能为${\displaystyle 4k+1}$。

若${\displaystyle n=6k+1}$，根据欧拉的结果，${\displaystyle n=4j+1}$，综合两者，得${\displaystyle n=12m+1}$。

若${\displaystyle n=6k+3}$，${\displaystyle n=4j+1}$，得${\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)}$。若${\displaystyle m}$非3的倍数，3和${\displaystyle 4m+3}$互素。

因为${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(n)}$为积性函数，可得${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(n)=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(3)\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(4m+3)=4\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(4m+3)\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}4)}$。

但${\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv <!--\; \equiv \; -->2(\mathrm{mod}4)}$，出现了矛盾。故知${\displaystyle m}$是3的倍数。代入${\displaystyle m=3q}$，可得${\displaystyle n=36q+9}$。

盈完全数的定义为：自己的约数（不含自己）的和减去自己得到的数可以整除自己，前几个盈完全数为：

亏完全数的定义为：自己减去自己的约数（不含自己）的和得到的数可以整除自己，前几个亏完全数为：

盈完全数是盈数的子集，亏完全数是亏数的子集。