在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh {\displaystyle \sinh } 和双曲余弦函数 cosh {\displaystyle \cosh } ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh {\displaystyle \tanh } 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

函数 cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh x\!} 是关于y轴对称的偶函数。函数 sinh ⁡ x {\displaystyle \sinh x\!} 是奇函数。

如同当 t {\displaystyle t} 遍历实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 时，点（ cos ⁡ t {\displaystyle \cos t\!} , sin ⁡ t {\displaystyle \sin t\!} ）的轨迹是一个圆 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 一样，当 t {\displaystyle t} 遍历实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 时，点（ cosh ⁡ t {\displaystyle \cosh t\!} , sinh ⁡ t {\displaystyle \sinh t\!} ）的轨迹是单位双曲线（英语：Unit hyperbola） x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 的右半边。这是因为有以下的恒等式：

参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（ cosh ⁡ t {\displaystyle \cosh t\!} , sinh ⁡ t {\displaystyle \sinh t\!} ）的直线之间的面积的两倍。

在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积。自然对数函数是在直角双曲线 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线 y = x {\displaystyle y=x} 上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角u，在渐近线即x或y轴上需要有的x或y的值。显见这里的底边是 ( e u + e − u ) 2 2 {\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}} ，垂线是 ( e u − e − u ) 2 2 {\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}} 。

通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 下双曲角的 1/2。

双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果x是实数而i2 = −1，则

所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成cosh函数，后者形成了sinh函数。cos函数的无穷级数可从cosh得出，通过把它变为交错级数，而sin函数可来自将sinh变为交错级数。上面的恒等式使用虚数i，从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)n，来恢复为指数函数的那两部分级数。

双曲函数可以通过虚数圆角定义为：

这些复数形式的定义得出自欧拉公式。

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:

与双曲函数有关的恒等式如下:

由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个sinh的积的项（包括 coth 2 ⁡ x , tanh 2 ⁡ x , csch 2 ⁡ x , sinh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y} ）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式。如

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

其中

从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:

和

因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数sinh z和cosh z是全纯函数。

指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：

所以:

因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为 2 π i {\displaystyle 2\pi i} (对双曲正切和余切是 π i {\displaystyle \pi i} ).

反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割

反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割

正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数

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