隔板法是组合数学的方法,用来处理
个无差别的球放进
个不同的盒子的问题。可一般化为求不定方程的解数,并利用母函数解决问题。
隔板法与插空法的原理一样。
现在有
个球,要放进
个盒子里
隔
个板子,把
个球被隔开成
个部分
如此类推,
个球放进
个盒子的方法总数为![{\binom {10-1}{3-1}}={\binom {9}{2}}=36](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551555038a784a1265b78d523a4ee4026f0b5c44)
个球放进
个盒子的方法总数为![{\binom {n-1}{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e653c24bf6314397550312c50710ff03a66645c)
问题等价于求
的可行解数,其中
为正整数。
现在有
个球,要放进
个盒子里,并允许空盒子。考虑
个球的情况:
每个盒子的球都被拿走一个,得到一种情况,如此类推:
个球放进
个盒子的方法总数(允许空盒子),等同于
个球放进
个盒子的方法总数(不允许空盒子),即![{\binom {n+k-1}{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f50898b606219d61c737dddccf656677f3e0bf)
问题等价于求
的可行解数,其中
为非负整数。
也是
展开式的项数![\sum _{{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n}}1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8344d2b2bb0929df43127f3ef56521f46593b437)