负数，在数学上指小于0的实数，如−2、−3.2、−807.5等，与正数相对。和实数一样，负数也是一个不可数的无限集合。这个集合在数学上通常用粗体R−或 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 来表示。负数与0统称非正数。

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 复数 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} }

负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整数 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} }

二元数 四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超实数 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大实数 上超实数

双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

质数 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值

规矩数 可定义数 序数 超限数 '"`UNIQ--templatestyles-00000015-QINU`"' p进数 数学常数

圆周率 π = 3.141592653 … {\displaystyle \pi =3.141592653\dots } 自然对数的底 e = 2.718281828 … {\displaystyle e=2.718281828\dots } 虚数单位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} 无穷大 ∞ {\displaystyle \infty }

负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式 x − y = z {\displaystyle x-y=z} 对任意 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示负债，而且通常以红色表示（若不带负数符号则加上括号），所以又称“赤字”。

自从公元前4世纪的汉代，中国数学家就已经了解负数和零的概念了。 公元1世纪的《九章算术》说“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”（这段话的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是负数，零减负数的差是正数。”）以上文字里的“无入”通常被数学历史家认为是零的概念。（全文见维基文库的《九章算术》）

尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。

西方最早在数学上使用负数的文献纪录，是由古印度数学家婆罗摩笈多于公元628年完成的《婆罗摩历算书（英语：Brāhmasphuṭasiddhānta）》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。

在实数上可以定义这样一个函数 sgn ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)} ，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

当 x {\displaystyle x} 不为 0 时，则有：

这里， | x | {\displaystyle \left\vert x\right\vert } 为 x {\displaystyle x} 的绝对值， H ( x ) {\displaystyle H(x)} 为单位阶跃函数。请参见导数。

加上一个负数相当于减去其相反数：

一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：

任意负数减去一个正数总得到一个负数：

减去一个负数相当于加上相应的正数：

一个负数和一个正数相乘得到一个负数： ( − 2 ) × 3 = − 6 {\displaystyle (-2)\times 3=-6} 。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复： ( − 2 ) × 3 = ( − 2 ) + ( − 2 ) + ( − 2 ) = − 6 {\displaystyle (-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6} 。

两个负数相乘得到一个正数： ( − 3 ) × ( − 4 ) = 12 {\displaystyle (-3)\times (-4)=12} 。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足分配律：

等式的左边为 0 × ( − 4 ) = 0 {\displaystyle 0\times (-4)=0} 。等式的右边为 − 12 + ( − 3 ) × ( − 4 ) {\displaystyle -12+(-3)\times (-4)} 。为了使两边相等，必须要 ( − 3 ) × ( − 4 ) = 12 {\displaystyle (-3)\times (-4)=12} 。

除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号，结果是一个负数：

若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：