在数学中, 特别是泛函分析与算符理论, 无界算子的概念提供了用于处理微分算符, 量子力学中无界可观测量等的一个抽象框架.
无界算子的名称具有一定的误导性，这是因为
不同于有界算子, 给定空间上的无界算子不构成代数，甚至不构成线性空间，这是因为每一个无界算子有各自的定义域。
“算子”通常指“有界线性算子”，但在以下内容中默认指“无界算子”。给定空间默认为希尔伯特空间，但可以扩展到巴拿赫空间与更有普遍性的拓扑矢量空间。
无界算子理论诞生于20世纪20年代后期，30年代前期，作为量子力学这套严格的数学框架的一部分而得到发展. The theory's development is due to John von Neumann and Marshall Stone. 冯诺依曼在1936年利用图对无界算符进行分析.
令 1 与 2 为 巴拿赫空间. 无界算子 (或简称为) : 1 → 2是一个线性映射 ， 从1 的线性子空间() （的定义域）映射到空间 2. 不同于惯例, 可能不定义在整个空间1.
如果函数图 Γ() 为一个闭集，算子被称为闭算子. （这里，图 Γ() 是直和1 ⊕ 2的一个线性子空间，定义为所以对(, )的集合, 定义在上）. 这意味着，对所有来自域的点列()，收敛到， 收敛到, 在域上成立，且 = . 有界性可以通过描述: 算符 是有界的， 当且仅当它的定义域 () 是关于下面的模的完备空间:
如果在1上定义域稠密，算子 被稠密定义。这同样包括定义在整个 1 上的算子, 因为整个空间本身稠密。 定义域的稠密是转置与伴随函数存在的充分必要条件。
若 : 1 → 2为闭集, 在它的定义域上稠密且连续, 则它定义在1上.
如果 + 是实数 的正算符，希尔伯特空间 上稠密定义的算符 被称作下有界. 即,对所有域上的来说，⟨|⟩ ≥ −·||||2 . 如果 与 (–) 都是下有界的，有界.
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